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20
2015
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RMQ学习笔记~

RMQ问题
——一种特殊的动态规划问题:
对于长度为n的数列A,回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n),返回数列A中下标在i,j之间的最小/大值。
区间最值查询
Sparse Table算法:高效的在线算法
所谓在线算法,是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理,待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。
ST(Sparse Table)算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法,它可以在O(nlogn)时间内进行预处理,然后在O(1)时间内回答每个查询。
 
PS.刚开始接触的时候只会背代码,现在自己推了一遍发现很优美简洁~
算法还是要透彻理解才能灵活运用~debug也会比较方便
 
以下是%飘过的小牛的讲解:[源地址:http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6624672]
 
(一)首先是预处理,用动态规划(DP)解决。
设A[i]是要求区间最值的数列,F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。(DP的状态)
即i~i+2^j-1 这2^j个数.
例如:
A数列为:3 2 4 5 6 8 1 2 9 7
F[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1,2]=max(3,2,4,5) = 5,F[1,3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;
并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。(DP的初始值)
这样,DP的状态、初值都已经有了,剩下的就是状态转移方程。
我们把F[i,j]平均分成两段(因为f[i,j]一定是偶数个数字),从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段,i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明,当i=1,j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i,j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max(F[i,j-1], F[i + 2^(j-1),j-1])。
代码如下:
void RMQ(int num) //预处理->O(nlogn)
{
for(int j = 1; j < 20; ++j)
	for(int i = 1; i <= num; ++i)
		if(i + (1 << j) - 1 <= num)
		{
			maxsum[i][j] = max(maxsum[i][j - 1], maxsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
			minsum[i][j] = min(minsum[i][j - 1], minsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
		}
}
这里我们需要注意的是循环的顺序,我们发现外层是j,内层所i,这是为什么呢?可以是i在外,j在内吗?
 
答案是不可以。因为我们需要理解这个状态转移方程的意义。
状态转移方程的含义是:先更新所有长度为F[i,0]即1个元素,然后通过2个1个元素的最值,获得所有长度为F[i,1]即2个元素的最值,然后再通过2个2个元素的最值,获得所有长度为F[i,2]即4个元素的最值,以此类推更新所有长度的最值。
而如果是i在外,j在内的话,我们更新的顺序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新从1开始1个元素,2个元素,4个元素,8个元素(A[0],A[1],....A[7])的最值,这里F[1,3] = max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值,但是我们根本没有计算max(A[0],A[1],A[2],A[3])和max(A[4],A[5],A[6],A[7]),所以这样的方法肯定是错误的。
 
为了避免这样的错误,一定要好好理解这个状态转移方程所代表的含义。
 
(二)然后是查询。
假如我们需要查询的区间为(i,j),那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i,右边界取j)的最小幂(可以重复,比如查询5,6,7,8,9,我们可以查询5678和6789)。
因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1),则有:RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。
举例说明,要求区间[2,8]的最大值,k = log2(8 - 2 + 1)= 2,即求max(F[2, 2],F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2],F[5, 2]);
 
在这里我们也需要注意一个地方,就是<<运算符和+-运算符的优先级。
比如这个表达式:5 - 1 << 2是多少?
 
答案是:4 * 2 * 2 = 16。所以我们要写成5 - (1 << 2)才是5-1 * 2 * 2 = 1。

 

Category: RMQ | Tags: 动态规划 区间问题 最值问题 | Read Count: 267

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