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2016
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【ZJOI2007】【bzoj1096】【斜率优化dp】仓库建设

1096: [ZJOI2007]仓库建设

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 3386  Solved: 1462
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Description

L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到以下数据: 工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);  工厂i目前已有成品数量Pi;  在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。

Input

第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

 

在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57,总费用67,不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 

 

 

Source


【题意】单一方向运输货物至仓库,要求选择建造仓库的位置,使得建造费用与运输费用总和最小。

ceoi2004 Two类似的一道题,区别是建造仓库的数目可>=2,这其实简化了问题。

详见《动态规划的斜率优化》


【分析】虽然一次AC了,但这道题确实是一道经典题。

区间分段处理问题,显然用一维dp解决。f[i]表示处理前i个仓库的最小费用。

前缀和优化的思想使方程大大简化。

ORZ黄学长:

f[i]=min(f[j]+cal(j,i))

 

主要问题是如何在O1的时间内计算cal(j,i),即j+1i这一段存入i所需的费用

s[i]p[i]的前缀和

如果所有物品都从0开始运到i,则费用为(sum[i]-sum[j]*x[i]

但由于物品的起始点不在0,所以每个物品可以少花费x[i]*p[i]

b[i]x[i]*p[i]的前缀和

可得f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j])*x[i]-(b[i]-b[j])+c[i]

 

如果j>kjk更优

f[j]-f[k]+b[j]-b[k]<(sum[j]-sum[k])*x[i]

问题就解决了,代码很好打。

 

小细节:

所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

——可见这类问题常开LL~


【代码】#include<cstdio>

#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
#define inf 1<<30
using namespace std;
const int N=1e6+100;
typedef long long LL;
int n,l,r,q[N];
LL x[N],p[N],c[N],f[N],s[N],b[N];
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
inline double slop(int k,int j)
{
	return double(f[j]-f[k]+b[j]-b[k])/double(s[j]-s[k]);
}
int main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("bzoj1096.txt", "r", stdin);
	freopen("zjoi2007.txt", "w", stdout);
	#endif
	n=read();
	F(i,1,n){
		x[i]=read();p[i]=read();c[i]=read();
		s[i]=s[i-1]+p[i];
		b[i]=b[i-1]+x[i]*p[i];
	}
	F(i,1,n){
		while(l<r && slop(q[l],q[l+1])<x[i]) l++;
		int t=q[l];
		f[i]=f[t]+(s[i]-s[t])*x[i]-(b[i]-b[t])+c[i];
		while(l<r && slop(q[r-1],q[r])>slop(q[r],i)) r--;
		q[++r]=i;//不是f[i],注意
	}
	printf("%lld",f[n]);
	return 0;
}

【反思】//time:21:24-21:37

 
这次我给自己打100~~~=_=~
Category: 动态规划 | Tags: 前缀和 动归优化 动态规划 斜率优化dp | Read Count: 257

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