1096: [ZJOI2007]仓库建设
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Description
L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据： 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）; 工厂i目前已有成品数量Pi; 在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。
Input
第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。
Output
仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。
Sample Input
0 5 10
5 3 100
9 6 10
Sample Output
HINT
在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。
【数据规模】
对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。
Source
【题意】单一方向运输货物至仓库，要求选择建造仓库的位置，使得建造费用与运输费用总和最小。
与ceoi2004 Two类似的一道题，区别是建造仓库的数目可>=2，这其实简化了问题。
详见《动态规划的斜率优化》
【分析】虽然一次AC了，但这道题确实是一道经典题。
区间分段处理问题，显然用一维dp解决。f[i]表示处理前i个仓库的最小费用。
前缀和优化的思想使方程大大简化。
ORZ黄学长：
f[i]=min(f[j]+cal(j,i))
主要问题是如何在O1的时间内计算cal(j,i)，即j+1到i这一段存入i所需的费用
s[i]为p[i]的前缀和
如果所有物品都从0开始运到i，则费用为（sum[i]-sum[j]）*x[i]
但由于物品的起始点不在0，所以每个物品可以少花费x[i]*p[i]
令b[i]为x[i]*p[i]的前缀和
可得f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j])*x[i]-(b[i]-b[j])+c[i]
如果j>k且j比k更优
f[j]-f[k]+b[j]-b[k]<(sum[j]-sum[k])*x[i]
问题就解决了，代码很好打。
小细节：
所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。
——可见这类问题常开LL啊~
【代码】#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
#define inf 1<<30
using namespace std;
const int N=1e6+100;
typedef long long LL;
int n,l,r,q[N];
LL x[N],p[N],c[N],f[N],s[N],b[N];
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
inline double slop(int k,int j)
{
return double(f[j]-f[k]+b[j]-b[k])/double(s[j]-s[k]);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("bzoj1096.txt", "r", stdin);
freopen("zjoi2007.txt", "w", stdout);
#endif
n=read();
F(i,1,n){
x[i]=read();p[i]=read();c[i]=read();
s[i]=s[i-1]+p[i];
b[i]=b[i-1]+x[i]*p[i];
}
F(i,1,n){
while(l<r && slop(q[l],q[l+1])<x[i]) l++;
int t=q[l];
f[i]=f[t]+(s[i]-s[t])*x[i]-(b[i]-b[t])+c[i];
while(l<r && slop(q[r-1],q[r])>slop(q[r],i)) r--;
q[++r]=i;//不是f[i],注意
}
printf("%lld",f[n]);
return 0;
}
【反思】//time:21:24-21:37
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