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2017
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【数学】排列组合与二项式定理 总结

染色问题:面染色/点染色,通常要求是相邻不同色。

  • 立体图形尽量转化为平面图形,简化问题(对我这种空间想象能力奇差的人..)
  • 图形的放置默认是有序的,即相当于每个点事先编号。
  • 按一定分类顺序计数,用组合数表示。★注意有无"每种颜色必须都用"的要求,如果没有则先按所用颜色数分类

计数问题:

带有限制条件的计数:

  • 先特殊(处理限制条件)后一般
  • 必须相邻问题:捆绑法,整体+局部
  • 不相邻问题:插空法(先考虑不受限制的元素的排列)

至多至少类问题:从反面入手

分组分配类问题:

  • Step1:分组(整体均分/部分均分/不等分),其实处理方法是一致的:用C表示分组过程,若均分则与顺序无关,将相应的排列数A除掉。
  • Step2:分配。简单的排列过程,x组数的排列数。

 

n元一次方程整数解个数问题:隔板法

x1+x2+x3+...+xn=S

非负整数解个数:C(S+2,n-1)

正整数解个数:C(S-1,n-1)


二项式定理的相关计算:

《6·7》专题(十二),十分完整清晰

 

二项式定理+不等式放缩证明不等式:

  • (a+b)^n的形式:考虑二项式定理展开,再利用其它方式放缩
  • 伯努利不等式:/( (1+x)^n≥1+n*x  (x>-1,n为正整数) /)——一般形式(见onenote)

组合数的几个性质:

  • 对称性、增减性。最大值:偶数项即第n/2项系数,奇数项即第(n-1)/2和第(n+1)/2项的二项式系数。★注意一共有n+1项!
  • /( r*C(n,r)=n*C(n-1,r-1) /)。由组合数的定义运算方法可推出。
  • 所有(n+1)项的二项式系数相加=2^n,奇数项二项式系数之和=偶数项二项式系数之和
  • 组合恒等式:/( C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1) /),简单的dp思想,也可借助杨辉三角放在坐标上

组合数计算的常用方法:【Orz韩旭大神】

  1. 利用(1+x)^n展开式。令x=特殊值,通常为1,-1,i,ω(自招)
  2. 直接计算
  3. 求导(取微分),可多次求导,适时等号两边同乘x改变指数
  4. 利用杨辉三角(找规律,猜想)
  5. 构造实际意义:题目中有多个kC相乘时考虑

补充的Tips:

调换三个数中每一个数的位置,不同的方式有A(2,2)=2种;

4个数的话:不是A(3,3),而有9种。这种计数还是列树状图分析比较好。

Category: 高考 | Tags: | Read Count: 445

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